[영상] Bilinear Interpolation

Bilinear Interpolation

Bilinear interpolation은 우리 말로 적자면 쌍선형 보간법, 또는 이중선형 보간법 정도가 되며 1차원에서의 선형 보간법을 2차원으로 확장한 것이다.

Bilinear interpolation 방법을 설명하기 위해 아래 그림과 같이 직사각형의 네 꼭지점에서의 값이 주어져 있을 때, 이 사각형의 변 및 내부의 임의의 점에서의 값을 추정하는 문제를 생각해 보자.

 

<그림 3>

 

그림과 같이 점 P에서 x축 방향으로 사각형의 변까지의 거리를 w1, w2, y축 방향으로 거리를 h1, h2라 하고, 알려진 네 점에서의 데이터 값을 A, B, C, D라 할 때, P에서의 데이터 값은 bilinear interpolation에 의해 다음과 같이 계산된다 (단, α=h1/(h1+h2), β=h2/(h1+h2), p=w1/(w1+w2), q=w2/(w1+w2)).

 

$$ P = q(\beta A + \alpha B) + p (\beta D + \alpha C) $$ 

계산 원리는 쉽게 짐작할 수 있듯이 A, B를 보간하여 M을 얻고 C, D를 보간하여 N을 얻은 후에 M, N을 보간하여 P를 얻는 방식이다. 또는 그 순서를 바꾸어 U와 V를 먼저 얻은 후에 U, V를 보간해도 동일한 결과를 얻을 수 있다.

 

그런데, 위의 보간 방법은 원래의 데이터의 위치가 직사각형을 이룰 경우에만 적용할 수 있는 방법이다. 만일 아래 그림처럼 임의의 형태의 사각형에서 사각형 내부를 보간하고자 할 때에는 어떻게 해야 할까?

 

<그림 4>

 

이 경우에는 아래 그림처럼 원래의 사각형을 어떤 직사각형으로 워핑(warping)시킨 후 워핑된 사각형에서 보간(interpolation)을 수행하면 된다.

 

워핑할 사각형은 임의의 직사각형이 가능하지만 편의상 네 꼭지점의 좌표가 (0,0), (0,1), (1,1), (1,0)인 단위 정사각형으로 워핑시킨다고 하자.

 

<그림 5>

 

이 경우 보간 방법은 원래 사각형의 네점 ABCD를 A'B'C'D'으로 변환시키는 선형변환(linear transformation) T를 구한 후, 구한 T를 이용하여 P를 변환시킨 P'를 구하고 단위 정사각형에서 bilinear interpolation을 수행하면 된다. 선형변환 T는 2D homography ([영상 Geometry #3] 2D 변환 (Transformations) 글 참조)를 이용하여 구할 수 있다.